存在带遮拦（有洞）的泽尼克多项式？波前直接展开似乎不行

如图输入一个波前，我们可以用泽尼克多项式展开。由于它是圆域正交的，因此可以直接令波前和各项泽尼克多项式积分，即可得到每一项系数。对于同轴反射系统，其波前是有缺失的。尽管也是圆形，但是由于中间丢了个洞，所以再在圆环域做定积分的泽尼克展开差距就很大了。是不是存在有洞的泽尼克展开多项式呢？

你是说这种吗？

应该是的，有参考文献或者参考的数学手段吗？

圆域正交是什么意思？

任意圆域内的二元函数W（比如圆孔径的波前）与每一项i的泽尼克函数Zi做积分，称为函数的“内积”，因为泽尼克函数是正交函数基底，因此由W·Zi的定积分等于ai，就是W在Zi的分量。
因此我们最后可以用完备的泽尼克多项式Z来任意展开“好”函数W＝a1Z1+a2Z2+a3Z3+...，由于函数正交，因此我们可以直接靠积分得到a1，a2，a3...就好比向量v在（0,1）和（1,0）展开，只需要做v·（1,0）和v·（0,1）即可~

但是我们常见的泽尼克多项式居然在圆环域上不正交，这是很有意思的。在圆域正交，却在它的子集——圆环域上不正交！很有趣。